Pattern 看到这一类条件的话有比较明确的处理手法。

Trick 一般是小小的精妙结论，没见过一般推不出来

Computation 比赛时的计算量是受限制的，这一类提示能够让我比较”经济”地进行计算。

经典条件刻画 / 处理手法

• $\angle ABC = 90°$
  • 勾股定理
  • 斜率乘积为 $-1$（即叉积为零向量）
  • （二维）把 $A,B,C$ 看作复平面的点，$\Re \frac {B-A} {B-C} = 0$（2019 AIME I #12）
• $a^n+b^n$
  • Newton’s Sums
• $a^2+b^2$
  • 均值不等式
  • 柯西不等式
  • $(a+bi)(a-bi)$
    • 接下来的处理进入 Complex Number 专题。
  • 几何意义
• $\binom {2n} n$、$\binom {2n} {n-1}$、$\binom {2n} {n+1}$
  • 见下文 Combinatorics 专题。
• $\sin(n\theta)$、$\cos(n\theta)$
  • De Moivre’s Formula
  • Chebyshev 多项式

Geometry

• 三角大杀器：Stewart’s theorem
• 需要大量运用勾股定理的题目，一般可以考虑设角度然后解三角方程来简化运算。（2019 AIME I #11）
• 三角形外接圆半径考虑正弦定理。
• 三角形面积
  • $\frac 1 2 bh$
  • $\frac 1 2 ab \sin C$
  • $\sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}$, where $s = \frac 1 2 (a+b+c)$.

Trigonometry

• $\sin^2 \theta$、$\cos^2 \theta$ 都是 $\cos 2\theta$ 的一次多项式。
• $\cos^n \theta$ 的展开
  • $\cos^3 \theta = \frac {\cos 3 \theta + 3 \cos \theta} 4$
  • 展开中只会包含和 $n$ 同奇偶的 $t$ 的 $\cos t \theta$。
  • 考场上的算法：令 $z=e^{i\theta}$，$\cos^n \theta = (\frac {z + z^{-1}} 2)^n$，展开之后配对。
  • $\cos^n \theta = \frac 1 {2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom n k \cos((n-2k) \theta)$。

Inequality

• 二次函数
  • 凸性
    • 二阶差分大于 $0$

    • e.g. 对于任意二次函数 $f$ 都有 $

      a-b

      = \sqrt 2 \sqrt{f(a) + f(b) - 2 f(\frac {a+b} 2)}$（奥数教程 第3讲二次函数 例7）。$f(a) + f(b) - 2 f(\frac {a+b} 2)$ 的本质是 $(f(b) - f(\frac {a+b} 2)) - (f(\frac {a+b} 2) - f(a))$，是一个二阶差分。

  • Pattern 根与系数的不等式
    • 韦达定理

Complex Number

• $a^2 + b^2 = (a - bi) (a + bi)$，有的题目可能突然通过这样一步出现复数。
• 复数相乘的几何意义：模长相乘，辐角相加。
• 实系数多项式的复根以共轭复数成对出现。
  • 奇次实系数多项式必有实根。

• $

  z

  = 1$ 时

  • 有 $z \bar{z} = 1$，能乘在式子里的任何地方。

    • 例：$f$ 是多项式，$

      f(z)

      $ 的一种处理手法是在常数项上乘一个 $z \bar{z}$，这样可以提取出一个 $

      z

      $。

  • $z = \cos\theta + i\sin\theta$，这种换元经常搭配上面的 $z \bar{z}$ 一起使用。
• $\Re (z^2) = c \Leftrightarrow (\Re z)^2 - (\Im z)^2 = c$，$\Im (z^2) = c \Leftrightarrow (\Re z) (\Im z) = \frac c 2$，都是双曲线。
• $\prod\limits_{k=1}^{n} (z - \omega_n^k) = z^n - 1$，反过来很简单，正过来容易想不到。
• 夹角为 $\frac {2\pi} n$ 的 $n$ 个模为 $1$ 的复数，和为 $0$。

Number Theory

• 刻画整除关系，可以对每个质数设出 $\nu_p$ 的不等式。（2024 AIME II #14）
• Computation 枚举一个数 $n$ 的分解 $x \times y \times z$ 是可以接受的。A034836，其 1~1000 的数值。（2024 AMC 12A #6）
• Pattern 看到 $x^n - y^n$ 或者 $x^n + y^n$（尤其是 $\frac {x^n - y^n} {x - y}$）想到 LTE。
• Trick 逆元换底公式（？）：$\text{inv}(a,b) = b - \frac {b \times \text{inv}(b,a) - 1} a$（2023 AIME II #15）
• Pattern 与最简分数相关，并且有由 $\frac a b$ 与 $\frac c d$ 合成 $\frac {a+c} {b+d}$ 的问题，考虑 Stern-Brocot Tree。（2025 PROMYS Problem Set #3）

Floor Function

• Hermite 恒等式：$\sum\limits_{i=0}^{n-1} \left\lfloor x + \dfrac i n \right\rfloor = \lfloor nx\rfloor$

Combinatorics

• $\binom {2n} n$ 型组合数的处理手法（Central binomial coefficient A000984）
  • $\binom {2n} n = \binom {-\frac 1 2} n (-4)^n$。
  • $\sum\limits_{n=0}^\infty \binom {2n} n x^n = \frac 1 {\sqrt {1 - 4x}}$。
  • $\frac 1 {n+1} \binom {2n} n$ 是 Catalan 数 A000108。
  • $\binom {2n} {n-1} = \binom {2n} {n+1} = \frac 1 2 \binom {2(n+1)} {n+1} - \binom {2n} n$。（用微分方程解决上一期视频中出现的有趣级数！_哔哩哔哩_bilibili）
  • $\sum\limits_{i=0}^n \binom n i ^2 = \binom {2n} n$。

Sequence

TODO:

Probability

Discrete

• DP。

Continuous

• 积分。积分。积分。

Symmetric Polynomial

• Pattern 高次方和。
• 凑 $\sigma$。
  • 凑出 $\sigma$ 后考虑 Vieta。（2024 AIME II #11）
• $n$ 个数的 $k$ 次方和 $P_k$ 满足一个 $n$ 阶常系数齐次线性递推，可以用数列中的办法处理。
• $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab - ac - bc)$ 即 $P_3 - 3\sigma_3 = \sigma_1 (P_2 - \sigma_2)$。

Group Theory

• 对于”是否有解”的置换问题，考虑置换奇偶性。（2025 SUMaC Problem Set #3）

Optimization

• 考虑导数。
• 大杀器：Lagrange multiplier

Ad-hoc

• 要构造 $A \cap B \ne \varnothing$，考虑将 $A$ 与 $\bar{A}$ 配对。