AP E&M Chapter 14-16 Part 3: Inductors
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理想螺线管的 EMF
有一个长为 $l$、每单位长度有 $n$ 匝、半径为 $R$ 的理想螺线管。变化的电流 $I$ 通过螺线管，螺线管产生的 EMF 的大小为？
熟知理想螺线管内部
\[B = \mu_0 n I\]每一匝的磁通量为 $B \times \pi R^2$，总共 $nl$ 匝：
\[\begin{aligned} \Phi_B &= nl \times B \times \pi R^2 \\ &= \mu_0 \pi n^2 l R^2 I \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \lvert \mathcal E \rvert &= \left\lvert \frac {d \Phi_B} {dt} \right\rvert \\ &= \boxed{\mu_0 \pi n^2 l R^2 \left\lvert \frac {dI} {dt} \right\rvert} \end{aligned}\]电感
不难发现，对于很多产生 EMF 的电路元件，都有
\[\Phi_B \propto I \implies \mathcal E \propto \frac {dI} {dt}\]不妨给这个比例系数起个名字，叫 inductance (电感)：
\[\boxed{ L := \frac {\Phi_B} I }\] \[\Phi_B = LI \implies \mathcal E = - L \frac {dI} {dt}\]电感的单位是 henry (H)。
回到前面的例子，不难发现理想螺线管的电感 $L = \mu_0 \pi n^2 l R^2$。
串并联等效
串联：
\[L = \sum L_i\]并联：
\[\frac 1 L = \sum \frac 1 {L_i}\]电感器的能量
\[\begin{aligned} U &= \int dW \\ &= \int (\Delta V) dQ \\ &= \int \left( L \frac {dI} {dt} \right) dQ \\ &= \int LI dI \\ &= \frac 1 2 L I^2 \\ \end{aligned}\]RL 电路
RL 电路串联了电源、电感器和电阻器。
RL 电路充电
\[\begin{cases} V + \mathcal E - IR = 0 \\ \mathcal E = - L \frac {dI} {dt} \\ \end{cases} \implies V - L \frac {dI} {dt} - IR = 0\] \[\begin{aligned} V - IR &= L \frac {dI} {dt} \\ dt &= \frac {L dI} {V - IR} \\ \frac R L dt &= \frac {dI} {\frac V R - I} \\ \frac R L t &= - \ln \left( \frac V R - I \right) + C \\ I &= \frac V R - C e^{- \frac R L t} \\ \end{aligned}\]初始时电流为 $0$，求闭合开关后电路中的电流 $I(t)$。
根据初值 $t = 0$ 时 $I = 0$，可得 $C = \frac V R$：
\[\boxed{ I = \frac V R \left( 1 - e^{- \frac R L t} \right) }\]RL 电路放电
\[\begin{aligned} - L \frac {dI} {dt} - IR &= 0 \\ \frac {dI} {dt} &= - \frac R L I \\ \end{aligned}\]初始时电流为 $I_0$，求接走电源（不难使用单刀双掷开关实现）后电路中的电流 $I(t)$。
熟知该微分方程的解：
\[\boxed{ I = I_0 e^{- \frac R L t} }\]Time constant
注意到关于 RL 电路的问题中都会遇到相同的指数项：
\[e^{- \frac R L t}\]为了方便，定义指数 $-1$ 所需的时间，即指数项总体变为原来的 $\frac 1 e$ 所需的时间为 time constant $\tau$：
\[\boxed{ \tau = \frac L R }\]LC 电路
\[\begin{cases} \frac 1 C Q - L \frac {dI} {dt} = 0 \\ I = - \frac {dQ} {dt} \\ \end{cases} \implies \frac {d^2Q} {dt^2} + \frac 1 {LC} Q = 0\]LC 电路是串联了一个电容器和一个电感器的电路。
求电流 $I(t)$ 的通解。
二阶常系数齐次 ODE，解得：
\[\boxed{ Q = A \sin \left( \frac 1 {\sqrt{LC}} t + \varphi \right) }\]对 $t$ 求导得到电流：
\[I = - \frac {dQ} {dt} = - \frac A {\sqrt{LC}} \cos \left( \frac 1 {\sqrt{LC}} t + \varphi \right)\]能量守恒
可以注意到总能量
\[\frac 1 2 \frac 1 C Q^2 + \frac 1 2 L I^2 = \frac {A^2} {2C}\]是一个守恒量。