函数的极值
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很多人比如我在看到最优化问题时第一反应就是求导，甚至求偏导（拉格朗日乘数法）。但是很多时候用一些初等的恒等式，就能轻巧地解决问题。
一元分式
用 $n\text{D}$ 代表任意 $n$ 次多项式。
$1\text{D} + \frac 1 {1\text{D}}$
思路：给分式外面的项配出一样的常数项，变成对勾。
形如 $x + \frac 1 {ax + b}$ 的函数。
\[\begin{aligned} & x + \frac 1 {4x - 1} \\ =& \frac 1 4 (4x-1) + \frac 1 {4x-1} + \frac 1 4 \\ \ge & \boxed{\sqrt 2 + \frac 1 4} \\ \end{aligned}\]（一数例题的一部分）$x > \frac 1 4$，求：
\[\left( x + \frac 1 {4x - 1} \right)_{\min}\]
$\frac {1\text{D}} {2\text{D}}$
全局
（奥数教程 P60）求以下函数的最值：
\[y = \frac {x^2 + x + 2} {2x^2 - x + 1}\]
2D/2D 本质上和 1D/2D 是一样的，长除一下即可。但是这个方法直接不长除也能做。
\[(2y-1) x^2 - (y+1) x + (y-2) = 0\] \[\Delta = -7y^2 + 22y - 7 \ge 0\] \[\boxed{\frac {11 - 6 \sqrt 2} 7} \le y \le \boxed{\frac {11 + 6 \sqrt 2} 7}\]分别在 $x = -1 \pm \sqrt 2$ 取到。
条件
思路：让分子只剩一次项，除掉之后变成对勾。
\[\begin{aligned} & \frac {1 + 2t} {1 + t^2} \\ =& \frac {u} {1 + \frac 1 4 (u-1)^2} & \text{set } u = 1 + 2t \\ =& \frac {4u} {u^2 - 2u + 5} \\ =& \frac 4 {u + \frac 5 u - 2} \\ \le & \boxed{\frac {\sqrt 5 + 1} 2} \\ \end{aligned}\]$t > 0$，求：
\[\left( \frac {1 + 2t} {1 + t^2} \right)_{\min}\]
在 $u = \sqrt 5$ 即 $t = \frac {\sqrt 5 - 1} 2$ 取到。
多元
权方和不等式
（2015 甘肃预赛，一数例题）$x>0 \land y>0 \land x+y=1$，求：
\[\left( \frac {x^2} {x+2} + \frac {y^2} {y+1} \right)_{\min}\]