转动惯量张量
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角动量的定义是 $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$。同时，在旋转轴固定时，我们还有 $L = I \omega$。我们现在希望找一个普适的 $\vec{\omega} \to \vec{L}$ 的映射，不妨记 $\vec{L} = \mathbf I \vec{\omega}$。
\[\begin{aligned} & \mathbf I \vec{\omega} \\ =& \vec{r} \times \vec{p} \\ =& m \cdot (\vec{r} \times \vec{v}) \\ =& m \cdot (\vec{r} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})) \\ \end{aligned}\]我们发现 $\mathbf I \square = m \cdot (\vec{r} \times (\square \times \vec{r}))$。容易发现其线性性，因此这是一个线性映射，$\mathbf I$ 可以用矩阵表示。
为了具体求出 $\mathbf I$，我们代入 $\square \in { [1,0,0]^T, [0,1,0]^T, [0,0,1]^T }$ 直接计算即可。
结果是：
\[\mathbf I = m \begin{bmatrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \\ \end{bmatrix}\]或者直接推导：
可以利用矢量三重积公式 $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$：
（用 $\mathbf E$ 代表 $3 \times 3$ 单位矩阵）
\[\begin{aligned} & \vec{r} \times (\square \times \vec{r}) \\ =& (\vec{r} \cdot \vec{r}) \square - (\vec{r} \cdot \square) \vec{r} \\ =& r^2 \square - (\vec{r} \cdot \square) \vec{r} \\ =& (r^2 \mathbf E) \square - (\vec{r}^T \square) \vec{r} \\ =& (r^2 \mathbf E) \square - (\vec{r} \vec{r}^T) \square \\ =& (r^2 \mathbf E - \vec{r} \vec{r}^T) \square \\ \end{aligned}\]因此：
\[\mathbf I = m (r^2 \mathbf E - \vec{r} \vec{r}^T)\]