留数定理与安培环路定律
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Intro
留数定理：
\[\oint f(z) dz = 2 \pi i \sum_k \text{Res}(f, z_k)\]Ampere 环路定律：
\[\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 \sum I\]形式这么像，很难相信它俩之间没有关系啊。
Cauchy 定理的物理意义
约定：$z = x + iy, f(z) = u + iv$。
\[\oint f(z) dz = \oint (u dx - v dy) + i \oint (v dx + u dy)\]注意到：
\[\oint (u dx - v dy) = \oint \begin{bmatrix} v \\ u \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -dy \\ dx \end{bmatrix}\] \[\oint (v dx + u dy) = \oint \begin{bmatrix} v \\ u \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix}\]我们构造一个 $\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} v \ u \end{bmatrix}$ 的矢量场（注意不是 $\begin{bmatrix} u \ v \end{bmatrix}$）。对于这个围道，第一个积分是通量（的相反数），而第二个积分是旋量。
这两个积分根据 Green 公式和 Cauchy-Riemann 条件计算出来都是 $0$。
留数定理推出（简化版）Ampere 环路定律
来源：留数定理能和安培环路定理联系起来吗？ - 杂然赋流形丶
前置条件：Biot-Savart 定律。
我们考虑一个简化情形。仅在 $xy$ 平面上考虑问题。考虑一根 $z$ 方向的无限长的细直导线，有穿出纸面方向的大小为 $I$ 的稳恒电流，穿过 $(0,0)$。围道包含 $(0,0)$。
在这种情形下推导 Ampere 环路定律。
（多根导线时推导完全一致，忽略。）
根据 Biot-Savart 定律，可导出熟知结论：导线在距离为 $r$ 处造成的磁场大小为
\[B = \frac {\mu_0 I} {2 \pi} \frac 1 r\]对于点 $(x,y)$，此处的磁场矢量 $\vec B$ 可以被分解为：
\[\vec B = B_x \hat i + B_y \hat j = \frac {\mu_0 I} {2 \pi} (- \frac y {x^2 + y^2} \hat i + \frac x {x^2 + y^2} \hat j)\]以两个磁场的分量，构造复变函数 $f$。注意实部和虚部反一下。
\[f(x + iy) := B_y + i B_x = \frac {\mu_0 I} {2 \pi} \frac {x - iy} {x^2 + y^2} = \frac {\mu_0 I} {2 \pi} \frac 1 {x + iy}\] \[f(z) = \frac {\mu_0 I} {2 \pi} \frac 1 z\]留数定理走一圈：
\[\oint f(z) dz = 2 \pi i \text{Res}(f, 0) = i \mu_0 I\]$\oint f(z) dz$ 的实部是通量，虚部是旋量。
\[\begin{cases} \displaystyle \oint \begin{bmatrix} v \\ u \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -dy \\ dx \end{bmatrix} = 0 \\ \displaystyle \oint \begin{bmatrix} v \\ u \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \mu_0 I \\ \end{cases}\]把 $u = B_y, v = B_x$ 代入：
\[\begin{cases} \displaystyle \oint \begin{bmatrix} B_x \\ B_y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -dy \\ dx \end{bmatrix} = 0 \\ \displaystyle \oint \begin{bmatrix} B_x \\ B_y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \mu_0 I \\ \end{cases}\]第一条是 2D 版本的磁场 Gauss 定律，第二条是静磁场的 Ampere 环路定律。
电场会怎么样？
$\vec B$ 与 $(x,y)$ 是垂直的，但是 $\vec E$ 与 $(x,y)$ 是平行的。这会让计算有所不同。
把无限的导线换成一个无限的带电棒。
构造 $f(z) = E_x - i E_y$ 会是一个好的选择。
最终可以计算出
\[\begin{cases} \displaystyle \oint \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -dy \\ dx \end{bmatrix} = - \frac \lambda {\varepsilon_0} \\ \displaystyle \oint \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = 0 \\ \end{cases}\]第一条是 2D 版本的电场 Gauss 定律，第二条是静电场的 Faraday 定律（静电场没有电磁感应嘛）。