双曲函数
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前置知识
$\int \frac 1 {\sqrt{1 + x^2}} dx$ 的计算
\[\begin{aligned} & \int \frac 1 {\sqrt{1 + x^2}} dx \\ =& \int \frac 1 {\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} \sec^2 \theta d\theta & x = \tan \theta \\ =& \int \sec\theta d\theta \\ =& \ln \lvert \tan \theta + \sec \theta\rvert + C \\ =& \ln \lvert x + \sqrt{1 + x^2} \rvert + C \\ =& \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) + C \\ \end{aligned}\]绝对值内恒正可以这么说明：$\sqrt{x^2 + 1} > \lvert x \rvert$，而 $x + \lvert x \rvert \ge 0$。
这里埋两个伏笔：
- 有的人第一眼拿到这个题时可能会不小心看成 $\int \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}} dx$ 然后直接积出 $\arcsin x$。但是这两个题真的没关系吗？
- 为啥 $x + \sqrt{1 + x^2}$ 是恒正的，有没有更好的解释？
已知环路计算内部面积
\[\boxed{ A = \frac 1 2 \oint (x dy - y dx) }\]理解 1：这个式子还可以写为
\[\frac 1 2 \oint \det \begin{bmatrix} x & y \\ dx & dy \end{bmatrix}\]理解 2：考虑根据 Green 公式进行构造
\[\oint_C (P dx + Q dy) = \iint_D \left( \frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y} \right) dA\]若构造 $P,Q$ 使得
\[\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y} \equiv 1\]则 $\oint (P dx + Q dy)$ 就会给出面积。$P = - \frac y 2, Q = \frac x 2$ 就是一个合理的构造。
悬链线
挂在空中的呈 U 形的不可拉伸绳子，形成的形状是？
这个形状称为悬链线 (catenary)。Galileo 在这个问题上曾经犯过错误，他错误地认为这玩意儿是一个抛物线。
推导过程及本部分图片来源为该视频。
从悬链线底部取一小段作受力分析：
<img src=https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/angwo4xa.png width=400>
\[\begin{cases} F_T \sin \theta = mg = \frac {g M} L l \\ F_T \cos \theta = F \\ \end{cases}\] \[\tan \theta = \frac {g M} {F L} l\]$\frac {g M} {F L}$ 是常数，用 $k$ 代替：
\[\tan \theta = k l\]$\tan \theta$ 是斜率，显然就是 $y’$；$l$ 可以对微小弧长积分 $l = \int_0^x \sqrt{1 + (y’)^2} dx$ 得到：
\[\begin{aligned} y' &= k \int_0^x \sqrt{1 + (y')^2} dx \\ y'' &= k \sqrt{1 + (y')^2} \\ \frac 1 {\sqrt{1 + (y')^2}} y'' &= k \\ \int \frac 1 {\sqrt{1 + (y')^2}} y'' dx &= kx + C \\ \int \frac 1 {\sqrt{1 + (y')^2}} d(y') &= kx + C \\ \ln (y' + \sqrt{1 + (y')^2}) &= kx + C & C = 0 \\ y' &= \frac {e^{kx} - e^{-kx}} 2 \\ y &= \frac 1 k \frac {e^{kx} + e^{-kx}} 2 \\ \end{aligned}\]$\cosh$
我们着重研究答案中的这个形式：
\[y = \frac {e^x + e^{-x}} 2\]联想到 $\cos$ 的 $\exp$ 形式：
\[\cos x = \frac {e^{ix} + e^{-ix}} 2\]不难发现
\[y = \cos(ix)\]$\cos(ix)$ 看起来也太不像一个正经的实函数了，给它重新起个名字：
\[\boxed{ \cosh x := \cos(ix) = \frac {e^x + e^{-x}} 2 }\]悬链线方程可以重新写成：
\[y = \frac 1 k \cosh(k x)\]Galileo 真的错了吗？
Galileo 觉得这玩意儿长得像抛物线，真的没有道理吗？
\[\cosh x = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n}} {(2n)!} = 1 + \frac {x^2} 2 + O(x^4)\]好吧，长得确实像抛物线。
$\sinh$
考虑一下 $\cosh$ 的导数：
\[\cosh' x = \frac {e^x - e^{-x}} 2\] \[\cosh'' x = \frac {e^x + e^{-x}} 2 = \cosh x\]这也太像 $\sin$ 和 $\cos$ 了，很难忍住不下这么个定义：
\[\boxed{ \sinh x := \frac {e^x - e^{-x}} 2 }\]根据 $\sin x = \frac {e^{ix} - e^{-ix}} 2$ 又能得到：
\[\boxed{ \sinh x = - i \sin(ix) }\]进一步地，还可以定义 $\tan$ 和其他三角函数的类比：
\[\tanh x := \frac {\sinh x} {\cosh x}\]双曲函数的性质
求导关系：
\[\begin{cases} \sinh' x = \cosh x \\ \cosh' x = \sinh x \\ \end{cases}\]与三角函数的关系：
\[\begin{cases} \cosh x = \cos(ix) \\ \sinh x = - i \sin(ix) \\ \end{cases}\] \[\begin{cases} \cos x = \cosh(ix) \\ \sin x = - i \sinh(ix) \\ \end{cases}\]利用这组关系，可以把每个三角恒等式都移植出一个双曲函数的版本。
Euler 公式 $\cos x + i \sin x = e^{ix}$ 的类比：
\[\begin{cases} \cosh x + \sinh x = e^x \\ \cosh x - \sinh x = e^{-x} \\ \end{cases}\]$\cosh$ 的弧长性质（悬链线上斜率与弧长成正比）：
\[\int_0^x \sqrt{1 + \cosh'(t)^2} dt = \sinh x\]对两边求导，可以得到 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 的类比：
\[\sqrt{1 + \sinh(x)^2} = \cosh x\] \[\boxed{ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 }\]单位双曲线
单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 可以用三角函数的参数方程表示：
\[\begin{cases} x = \cos \theta \\ y = \sin \theta \\ \end{cases}\]类比地，用双曲函数构造参数方程
\[\begin{cases} x = \cosh \phi \\ y = \sinh \phi \\ \end{cases}\]可以得到单位双曲线（只有右支，因为 $\cosh$ 恒正）：
\[\boxed{ x^2 - y^2 = 1 }\]这也是 $\sinh$ 和 $\cosh$ 被称为双曲函数的原因。此处 $\phi$ 被称为双曲角。三角函数为了和双曲函数形成对比，也被称为圆函数。
$\phi$ 可以被 $x,y$ 简单地表示：
\[\begin{aligned} x + y &= e^\phi \\ \phi &= \ln(x + y) \\ \end{aligned}\]开头的问题：优雅地证明 $x + \sqrt{1 + x^2}$ 恒正。
换元 $x = \sinh \phi$，原式为 $\sinh \phi + \cosh \phi = e^\phi > 0$。
双曲角 $\phi$ 的几何意义
$(\cos \theta, \sin \theta)$ 构成的扇形，面积 $A$ 为 $\frac \theta 2$。
$(\cosh \phi, \sinh \phi)$ 构成的“扇形”，面积 $A$ 也为 $\frac \phi 2$：
<img src=https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/1svwqm2k.png width=400>
经过原点的直线上的积分对面积没有贡献为 $0$，因此只考虑双曲线上的积分：
\[\begin{aligned} A(\phi) &= \frac 1 2 \int (x dy - y dx) \\ &= \frac 1 2 \int_0^\phi (\cosh^2 t - \sinh^2 t) dt \\ &= \frac \phi 2 \\ \end{aligned}\]反双曲函数
$\operatorname{arsinh}$
定义 $\operatorname{arsinh}$ 为 $\sinh$ 的反函数。
关于名字：
- 反三角函数中的 $\text{arc}$ 指的是弧长，因为角可以看成单位圆上的弧长；
- 但是反双曲函数的 $\text{ar}$ 指的是面积 area，因为双曲角丢失了弧长的含义，只有面积的几何意义。
- Fun fact：然而确实有 $\operatorname{arcsinh}$ 的写法。
- 守序善良：Geogebra 两者都支持。
- 混乱善良：Mathematica 只支持 arcsinh 不支持 arsinh。
- 混乱邪恶：Markdown 两者都不支持。
我们尝试求出其解析式。设 $\phi = \operatorname{arsinh} y$。
\[\begin{aligned} & \phi \\ =& \ln(x + y) \\ =& \ln(\sqrt{1 + y^2} + y) \\ \end{aligned}\] \[\boxed{ \operatorname{arsinh} x = \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) }\]\[\begin{aligned} & \int \frac 1 {\sqrt{1 + x^2}} dx \\ =& \int \frac 1 {\sqrt{1 + \sinh^2 t}} \cosh t dt & x = \sinh t \\ =& \int \frac {\cosh t} {\cosh t} dt \\ =& t + C \\ =& \operatorname{arsinh} x + C \end{aligned}\]利用双曲换元，再次计算积分 $\int \frac 1 {\sqrt{1 + x^2}} dx$。
类比 $\int \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x + C$，这看起来是不是好多了？
$\operatorname{arcosh}$
定义 $\operatorname{arcosh} x$ 为满足 $\cosh t = x$ 的唯一非负实数 $t$。
经过一样的推导可以得到：
\[\boxed{ \operatorname{arcosh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right) }\]快度（狭义相对论）
见此文。