Intro to Special Relativity
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事件与参考系
一个事件在参考系 $S$ 中拥有一个确定的位置 $(x,y,z)$ 和一个确定的时间 $t$。因此我们可以用一个四维坐标来表示它：
\[(t,x,y,z)\]如果我换一个参考系 $S’$，则同一个事件在参考系应该有一个新的坐标：
\[(t,x,y,z) \mapsto (t' x', y', z')\]在不同的时空观下，这个变换是不一样的。后文我们将展开研究不同的时空观及其变换。
Galilean transformation
我们最朴素的直觉认为，所有参考系中的时间都应该相同：
\[t' = t\]为了简化运算，考虑一个坐标系 $S’$ 相对于 $S$ 往 $x$ 轴正方向以 $v$ 的速度匀速运动（这样不用在意 $y,z$ 方向上的运动），且 $t = t’ = 0$ 时两者原点重合：
经过了 $t$ 的时间后，每一个事件 $(x,y,z,t)$ 应该只是做一个简单的平移：
\[\boxed{\begin{cases} x' = x - vt \\ y' = y \\ z' = z \\ t' = t \\ \end{cases}}\]这种简单的，符合日常生活直觉的变换被称为 Galilean transformation，叫这个名字是因为它符合 Galileo 和 Newton 等人的绝对时空观。
我们把空间的每一维对时间求偏导，则可以得到速度的变换关系：
\[\boxed{\begin{cases} \dot x' = \dot x - v \\ \dot y' = \dot y \\ \dot z' = \dot z \\ \end{cases}}\]光速不变
根据 Maxwell 方程组，我们可以得到电磁波的速度是一个常数（根据现代的知识，我们知道光也是电磁波的一种）：
\[c = \frac 1 {\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\]但是，速度是相对的量，Maxwell 方程组没有说过这个 $c$ 是相对于谁的。
于是大家觉得，总不可能每一个参考系里光速都相等吧，应该是有一个地位特殊的绝对参考系。那我们的地球应该相对于这个绝对参考系有一个速度，光速与地球速度一叠加，地球上往各个方向的光应该是速度不同的。我们只要测出地球上各个方向的光速就可以验证一下。
然而很遗憾，Michelson–Morley 实验告诉我们，地球上各个方向的光速都相同。排除掉“地球是宇宙中特殊的地方”这种逆天的假说，我们就得到了一个还是很逆天的理论：
光速在任何参考系中不变，均为 $c$。
这样的时空观就是狭义相对论 (Special Relativity) 的时空观，其中的时空变换称为 Lorentz transformation。
但是这显然和 Galilean transformation 是不符的。这咋办？
Lorentz transformation 的性质
以下采用 $c=1$ 的自然单位制。
性质 1：时空间隔为 $0$ 在变换下不变
为了方便，找两个 $t=t’=0$ 的参考系 $S$ 和 $S’$。我在 $t=t’=0$ 时从原点发一束光，这两个参考系中的光速应该相等：
\[\frac {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} t = \frac {\sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}} {t'} = 1\] \[\begin{cases} t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0 \\ t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2 = 0 \\ \end{cases}\]进一步地，其实也不是非得有一束光：
对于一个事件 $(x,y,z,t)$，若它在坐标系 $S$ 满足
\[x^2 + y^2 + z^2 - t^2 = 0\]则可以导出在坐标系 $S’$ 中
\[x'^2 + y'^2 + z'^2 - t'^2 = 0\]更进一步地，也不是非得用坐标原点进行讨论：若承认空间平移不变性与时间平移不变性，对于两个事件 $(x_1, y_1, z_1, t_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2, t_2)$，若
\[(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 - (\Delta t)^2 = 0\]（此处 $\Delta t = t_2 - t_1$，其它以此类推）则变换后依然满足
\[(\Delta x')^2 + (\Delta y')^2 + (\Delta z')^2 - (\Delta t')^2 = 0\] \[\boxed{\begin{aligned} & (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 - (\Delta t)^2 = 0 \\ \implies & (\Delta x')^2 + (\Delta y')^2 + (\Delta z')^2 - (\Delta t')^2 = 0 \\ \end{aligned}}\]性质 2：是线性变换
设 $\tilde x = (t,x,y,z)$。我们希望从 $S$ 到 $S’$ 的时空变换 $\tilde x \mapsto f(\tilde x)$ 是一个满足空间平移不变性与时间平移不变性的变换。
即：存在一个函数 $g$ 使得对于任意 $\tilde x, \tilde a$ 有
\[f(\tilde x + \tilde a) - f(\tilde x) = g(\tilde a)\]研究一下它的性质。我们考虑连续做两次，即研究 $f(\tilde x + \tilde a + \tilde b)$ 的行为：
\[\begin{aligned} & f(\tilde x + \tilde a + \tilde b) \\ =& f(\tilde x) + g(\tilde a + \tilde b) \\ \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & f(\tilde x + \tilde a + \tilde b) \\ =& f(\tilde x + \tilde a) + g(\tilde b) \\ =& f(\tilde x) + g(\tilde a) + g(\tilde b) \end{aligned}\] \[g(\tilde a) + g(\tilde b) = g(\tilde a + \tilde b)\]这不是我们的老朋友 Cauchy 方程嘛！因此，对于性质良好的 $g$（例如连续），$g$ 是一个线性变换。对于向量来说，其实就是存在一个矩阵 $\Lambda$，使得
\[g(\tilde x) = \Lambda \tilde x\]进一步地
\[f(\tilde x) = \Lambda \tilde x + f(0)\]不妨设 $f(0) = 0$ 保持原点不变，则 $f$ 是一个线性变换：
\[\boxed{ f(\tilde x) = \Lambda \tilde x }\]性质 3：不变量
看性质 1 中的这个结构：
\[(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 - (\Delta t)^2 = 0\]线性代数学得比较好的同学应该能意识到，这是一个二次型。我们定义时空间隔 $\Delta s$ 为这个量的平方根：
\[(\Delta s)^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 - (\Delta t)^2\]若我们定义度规
\[\eta = \begin{bmatrix} -1 \\ & 1 \\ & & 1 \\ & & & 1 \\ \end{bmatrix}\]则
\[s^2 = (\Delta \tilde x)^T \eta (\Delta \tilde x)\]在 $s^2 = 0$ 时可以导出 $s’^2 = 0$，我们把 $s’$ 显式写出来：
\[\begin{aligned} (\Lambda \Delta \tilde x)^T \eta (\Lambda \Delta \tilde x) = 0 \\ (\Delta \tilde x)^T (\Lambda^T \eta \Lambda) (\Delta \tilde x) = 0 \end{aligned}\]ChatGPT 说有一个定理保证了：若两个（非退化）二次型的零集相同，则这两个二次型成比例。即存在比例系数 $\lambda$ 使得：
\[\lambda \eta = \Lambda^T \eta \Lambda\]显然这个系数代表了时空在变换中产生的缩放，不妨直接让 $\lambda = 1$。
\[\boxed{ \eta = \Lambda^T \eta \Lambda }\]因此，Lorentz transformation 保持度规 $\eta$ 不变。对应地，时空间隔的平方
\[(\Delta s)^2 = (\Delta \tilde x)^T \eta (\Delta \tilde x)\]在 Lorentz transformation 下是不变量。
总结
若 $S \mapsto S’$ 的 Lorentz transformation 满足以下前提条件：
- 空间平移不变性
- 时间平移不变性
- 连续性
- 对空间的缩放系数 $\lambda = 1$
- 保持时空原点不变
则：
- 这个映射是线性变换，可以表示为矩阵。
- $(\Delta s)^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 - (\Delta t)^2$ 是变换的不变量。
Lorentz boost 的表达式
事情似乎越来越复杂了……我们还是只关注 $x$ 轴方向上的运动吧：
这种特殊的 Lorentz transformation 称为 Lorentz boost。
对于一个事件 $(t,x)$，它的 Lorentz transformation 不变量是：
\[x^2 - t^2 = s^2\]这是一个双曲线。我们知道双曲线上的点可以用带双曲角参数的双曲旋转表示：
\[\begin{bmatrix} t' \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cosh \phi & - \sinh \phi \\ - \sinh \phi & \cosh \phi \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix}\]我们选一个特殊点解出 $\phi$ 和 $v$ 的关系。
考虑 $S$ 中过了时间 $t$ 后 $S’$ 原点的位置：
- 在 $S$ 的视角下是 $(t, vt)$。
- 在 $S’$ 的视角下是 $(t’, 0)$。
双曲角 $\phi$ 称为快度 (rapidity)。有了 $\phi$ 和 $v$ 的关系就可以解出一切了：
\[\begin{cases} \cosh^2 \phi - \sinh^2 \phi = 1 \\ \frac {\sinh \phi} {\cosh \phi} = v \end{cases}\]解出
\[\begin{cases} \cosh v = \frac 1 {\sqrt{1 - v^2}} \\ \sinh v = \frac v {\sqrt{1 - v^2}} \end{cases}\]令 Lorentz 因子 $\gamma = \frac 1 {\sqrt{1 - v^2}}$，则 Lorentz boost 的表达式为：
\[\boxed{ \begin{bmatrix} t' \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & - \gamma v \\ - \gamma v & \gamma \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix} }\]$S_1$ 相对 $S$ 的速度为 $v_1$，$S_2$ 相对 $S_1$ 的速度为 $v_2$。求 $S_2$ 相对 $S$ 的速度。
连续两次双曲旋转，只要把双曲角相加：
\[\begin{cases} \phi_1 = \operatorname{artanh} v_1 \\ \phi_2 = \operatorname{artanh} v_2 \\ \phi = \phi_1 + \phi_2 \\ \end{cases}\] \[\boxed{ v = \tanh(\operatorname{artanh} v_1 + \operatorname{artanh} v_2) = \frac {v_1 + v_2} {1 + v_1 v_2} }\]真正是线性的物理量不是速度，而是快度。
怎么理解光速是速度的上限？
切回普通的单位制：
\[\phi = \operatorname{artanh} \frac v c\]$v \to c$ 时 $\phi \to \infty$。
当 $v=c$ 时 $\phi = \infty$，无穷大加什么都还是无穷大，因此光速在任何参考系中不变。
为什么生活中的常识会认为速度是线性的？
求出 $\operatorname{artanh}$ 的 Maclaurin 展开：
\[\operatorname{artanh} x = x + \frac {x^3} 3 + \frac {x^5} 5 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {2n+1}\] \[x \to 0, \ \operatorname{artanh} x \sim x\]（切回普通的单位制）生活中，$\frac v c$ 非常接近 $0$，因此 $\operatorname{artanh} \frac v c \approx \frac v c$，那就是线性的了。