留数巴塞尔
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对于 $a > 0$，计算这个级数：
\[\sum_{n=-\infty}^\infty \frac 1 {n^2 + a^2}\]并求解 Basel 问题：
\[\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} = \lim_{a \to 0} \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2 + a^2}\]
我们考虑使用留数定理。我们构造一个复变函数，使得我们要求和的项恰好为极点处的留数。
先找一个函数使得每个整数都是它的极点。我们发现 $\cot(\pi z)$ 是一个不错的选择，并计算它的留数：
\[\text{Res}_{z = n} \cot(\pi z) = \frac 1 \pi\]稍微改改就能用了：
\[\text{Res}_{z = n} \frac {\pi \cot(\pi z)} {z^2 + a^2} = \frac 1 {n^2 + a^2}\] \[\boxed{ f(z) = \frac {\pi \cot(\pi z)} {z^2 + a^2} }\]当然，还要注意这个函数多了两个极点 $\pm ia$，要记得减掉：
\[\begin{aligned} & \sum_{n=-\infty}^\infty \frac 1 {n^2 + a^2} \\ =& \sum_{n=-\infty}^\infty \text{Res}_{z = n} f(z) \\ =& \lim_{N \to \infty} \frac 1 {2 \pi i} \oint_{C_N} f(z) dz - \left( \text{Res}_{z = ia} f(z) + \text{Res}_{z = -ia} f(z) \right) \\ \end{aligned}\]取一条离实轴比较远的围道。在离实轴比较远处，$\cot(\pi z)$ 是有界的。但是 $z^2 + a^2$ 在涨，因此它们的比值的积分 $\oint f(z) dz$ 趋于 $0$。
两个留数好算：
\[\begin{aligned} & \text{Res}_{z = ia} f(z) \\ =& \frac {\pi \cot(\pi z)} {(z^2 + a^2)'} \vert_{z=\pm ia} \\ =& \frac {\pi \cot (\pm \pi i a)} {\pm 2 i a} \\ =& - \frac \pi {2a} \coth(\pi a) \end{aligned}\]得到：
\[\boxed{ \sum_{n=-\infty}^\infty \frac 1 {n^2 + a^2} = \frac \pi a \coth(\pi a) }\]如果只留正的 $n$：
\[\boxed{ \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2 + a^2} = \frac \pi {2a} \coth(\pi a) - \frac 1 {2a^2} }\]然后再求 Basel 问题，取极限 $a \to 0$：
\[x \coth x = 1 + \frac {x^2} 3 + O(x^4)\] \[\begin{aligned} & \lim_{a \to 0} \left( \frac \pi {2a} \coth(\pi a) - \frac 1 {2a^2} \right) \\ =& \lim_{a \to 0} \frac {\pi a \coth(\pi a) - 1} {2 a^2} \\ =& \lim_{a \to 0} \frac {\frac {\pi^2} 3 a^2 + O(a^4)} {2 a^2} \\ =& \frac {\pi^2} 6 \end{aligned}\] \[\boxed{ \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} = \frac {\pi^2} 6 }\]