Kerbal Space Program
Published:
相关网站
$\Delta v$
https://en.wikipedia.org/wiki/Delta-v
$\Delta v$ 是一段时间内加速度 magnitude 的总和：
\[\Delta v := \int \lvert \dot v \rvert dt\]对于同样的运动，不同的航天器需要不同量的燃料，但是所需的 $\Delta v$ 是相同的。
Oberth 效应
https://en.wikipedia.org/wiki/Oberth_effect
对于一个给定的 $\Delta v$，在近日点使用才能使航天器获得最多的能量。
推导
\[\begin{aligned} \Delta \text{KE} &= \frac 1 2 m \left( (v + \Delta v)^2 - v^2 \right) \\ &= m v \Delta v + \frac 1 2 m (\Delta v)^2 \end{aligned}\]$\Delta v$ 不变，$v$ 越大时 $\text{KE}$ 变化越大。而近日点是能量最大的位置。
Tsiolkovsky 火箭方程
https://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsky_rocket_equation
消耗燃料可以获得多少 $\Delta v$？
Tsiolkovsky 火箭方程告诉我们：令 $v_e$ 是相对于火箭的喷气速度，燃料燃烧的过程使火箭质量由 $m_0$ 下降到 $m_f$，则获得的 $\Delta v$ 为：
\[\Delta v = v_e \ln \frac {m_0} {m_f}\]推导
$dm$ 是火箭质量的减少（因此是负数），
\[\begin{aligned} mv &= (m + dm) (v + dv) + dm (v_e - v) \\ &= mv + m dv + v dm + v_e dm - v dm \\ \end{aligned}\] \[\begin{aligned} m dv &= - v_e dm \\ dv &= - v_e \frac 1 m dm \\ \int_0^{\Delta v} dv &= - v_e \int_{m_0}^{m_f} \frac 1 m dm \\ \Delta v &= v_e \ln \frac {m_0} {m_f} \end{aligned}\]Kepler 第三定律
https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%27s_laws_of_planetary_motion
对于一个指定的恒星，绕着它转的所有物体的周期 $T$ 和轨道半长轴 $a$ 的关系为：
\[T^2 \propto a^3\]具体比例系数：
\[T^2 = \frac {4 \pi^2} {GM} a^3\]Vis-viva equation
https://en.wikipedia.org/wiki/Vis-viva_equation
对于椭圆轨道：
\[E = - \frac {G M m} {2 a}\]对于椭圆轨道上任意一处：
\[v = \sqrt{GM \left( \frac 2 r - \frac 1 a \right)}\]推导
设出离心率 $e$，求出近日点与远日点位置：
\[\begin{cases} r_p = (1 - e) a \\ r_a = (1 + e) a \\ \end{cases}\]设出总机械能 $E$，根据势能求出动能：
\[\begin{cases} U_p = - \frac {G M m} {(1 - e) a} \\ U_a = - \frac {G M m} {(1 + e) a} \\ \end{cases} \implies \begin{cases} \frac 1 2 m v_p^2 = E + \frac {G M m} {(1 - e) a} \\ \frac 1 2 m v_a^2 = E + \frac {G M m} {(1 + e) a} \end{cases}\]角动量守恒：
\[m r_p v_p = m r_a v_a\]开始大力硬算机械能：
\[\begin{aligned} r_p v_p &= r_a v_a \\ \frac 1 2 m v_p^2 r_p^2 &= \frac 1 2 m v_a^2 r_a^2 \\ \left( E + \frac {G M m} {(1 - e) a} \right) (1-e)^2 a^2 &= \left( E + \frac {G M m} {(1 + e) a} \right) (1+e)^2 a^2 \\ - 4 e E &= \frac {2 G M m e} a \\ E &= - \frac {G M m} {2a} \\ \end{aligned}\]机械能有了，每一点的速度很好算：
\[\begin{aligned} - \frac {G M m} {2 a} &= \frac 1 2 m v^2 - \frac {G M m} r \\ v &= \sqrt{GM \left( \frac 2 r - \frac 1 a \right)} \end{aligned}\]Hohmann 转移
https://en.wikipedia.org/wiki/Hohmann_transfer_orbit
对于关于同一星球的两个共面的圆形轨道，我们可以通过 Hohmann 转移在两个轨道之间切换。
从绿色圆形轨道开始，瞬间加速一次使得轨道变为黄色椭圆，在运行到远地点时再次瞬间加速进入红色圆形轨道。
当然瞬间加速是不可能实现的，但是加速所需的时间相对于整个转移时间来说几乎可以忽略不计。
转移所需的时间是多长？
我们通过 Kepler 第三定律可以计算出黄色椭圆的周期及转移时间：
\[T = \frac {2 \pi} {\sqrt{GM}} \left( \frac {r_1 + r_2} 2 \right)^{\frac 3 2}\]注意实际转移时我们只需要走完半个椭圆，因此转移时间为 $\frac T 2$：
\[\frac T 2 = \frac \pi {\sqrt{GM}} \left( \frac {r_1 + r_2} 2 \right)^{\frac 3 2}\]假设第一次加速完后我的速度变成了 $v_f$。$v_f$ 取多少可以恰好上到红色轨道？
直接代入 Vis-viva equation：
\[v_f = \sqrt{GM \left( \frac 2 {r_1} - \frac 2 {r_1 + r_2} \right)}\]有时我们不仅想转移到更高轨道，还可能想追上轨道上的某个物体，比如空间站。何时进行第一次加速？
利用 Kepler 第三定律，把 $T$ 用 $T_2$ 表示：
\[\begin{aligned} \frac {r_2^3} {T_2^2} &= \frac {(\frac {r_1 + r_2} 2)^3} {T^2} \\ T &= T_2 \left( \frac {r_1 + r_2} {2 r_2} \right)^{\frac 3 2} \end{aligned}\]计算出第一次加速时两物体的相位角，即目标领先我们的角度：
\[\begin{aligned} \Delta \theta &= \pi - \omega_2 \times \frac T 2 \\ &= \pi - \frac {2 \pi} {T_2} \times \frac 1 2 T_2 \left( \frac {r_1 + r_2} {2 r_2} \right)^{\frac 3 2} \\ &= \pi \left( 1 - \left( \frac {r_1 + r_2} {2 r_2} \right)^{\frac 3 2} \right) \\ \end{aligned}\]如果错过了这个转移窗口，则需要再等 $\frac {2 \pi} {\lvert \Delta \omega \rvert}$ 的时间。