群论 Day 2 共轭
Published:
共轭
回忆矩阵中的相似变换 $\mathbf A = \mathbf P \mathbf B \mathbf P^{-1}$。将其推广，在群中我们也定义一个类似的结构。若存在元素 $g$ 使得：
\[y = g \circ x \circ g^{-1}\]则称 $y$ 为 $x$ 的共轭（Conjugation），或称 $x,y$ 共轭，记作 $x \sim y$。和矩阵相似一样，共轭是一种等价关系，具有传递性：
\[\begin{cases} x \sim y \implies y = g_1 \circ x \circ g_1^{-1} \\ y \sim z \implies z = g_2 \circ y \circ g_2^{-1} \\ \end{cases}\] \[\begin{aligned} z &= g_2 \circ g_1 \circ x \circ g_1^{-1} \circ g_2^{-1} \\ &= (g_2 \circ g_1) \circ x \circ (g_2 \circ g_1)^{-1} \\ \end{aligned}\]这种等价关系构成的等价类称为共轭类（Conjugacy class）。
例子：二面体群
所有使得正 $n$ 边形的操作（包含旋转和反转）对复合运算构成群，称为 $n$ 阶二面体群（Dihedral group）$\mathbb D_n$。
例：$\mathbb D_8$ 的图示。显然 $\lvert \mathbb D_n \rvert = 2n$。
从直觉上看，第一排的操作都是对原 $n$ 边形的旋转，而第二排的操作都是对原 $n$ 边形的翻转。有没有办法在数学上隔离这两排？
对于一个操作 $x$，选取一个操作 $g$ 构造共轭 $g \circ x \circ g^{-1}$：
- 若 $g$ 是纯旋转，则 $g \circ x \circ g^{-1}$ 显然和 $x$ 仍然保持在同一排。
- 若 $g$ 是纯翻转，则 $g$ 和 $g^{-1}$ 都是纯翻转，两次翻转会翻回原来那一面，因此 $g \circ x \circ g^{-1}$ 和 $x$ 仍然保持在同一排。
因此，无论哪一排的任意元素的共轭类都是它所在的那一排的子集，即对于任一排 $H$，有
\[\forall h \in H, \forall g \in G, g \circ h \circ g^{-1} \in H\]也可以说
\[\forall g \in G, g \circ H \circ g^{-1} \subseteq H\]但是似乎不止于此。任意元素的共轭类不仅是所在排的子集，似乎干脆就是整个所在排。即这两排在共轭变换下是不变的：
\[\forall g \in G, g \circ H \circ g^{-1} = H\]我们来证明这一点。证明两个集合相等，只需证明它们互为对方子集。一侧已经证过了，只需证另一侧 $\forall g \in G, H \subseteq g \circ H \circ g^{-1}$。
\[\begin{aligned} g \circ H \circ g^{-1} & \subseteq H \\ H & \subseteq g^{-1} \circ H \circ g \\ \end{aligned}\]直接将 $g$ 换元为 $g^{-1}$ 得到：
\[\forall g \in G, H \subseteq g \circ H \circ g^{-1}\]证毕。
正规子群
受到上面这个例子的启发，我们定义“正规子集”（我自己编的）：若群 $G$ 的子集 $H$ 满足任意元素的共轭类仍是 $H$ 的子集，则称 $H$ 是 $G$ 的“正规子集”。
（第二行前文证过，第三行为直接推论）
若 $H$ 是不仅是子集还是子群，则称 $H$ 为 $G$ 的正规子群（Normal subgroup），记作 $H \triangleleft G$。
例：$\mathbb D_n$ 的第一排纯旋转本身是子群，因此是正规子群；第二排纯翻转不是子群，因此只是“正规子集”。
根据上面公式第三行，若 $G$ 是交换群，则任意子群都是正规子群。
商群
考虑同余运算的本质。以模加法为例，设 $m$ 为模数，令 $m \mathbb Z$ 为 $m$ 的所有倍数，我们将 $\mathbb Z$ 分为 $m$ 个等价类 $m \mathbb Z, 1 + m \mathbb Z, \cdots, (m-1) + m \mathbb Z$（即 $m \mathbb Z$ 的所有陪集），并以等价类为元素作加法运算，即这些等价类构成群。
推广：对于群 $(G, \circ)$ 的某个子群 $H$，$H$ 的所有陪集可能对 $\circ$ 构成群，称为商群（Quotient group），记作 $G/H$。两个陪集的 $\circ$ 指的是从两陪集各挑出一个元素进行 $\circ$ 的所有结果组成的集合。
任意子群的所有陪集都构成群吗？并不是，随手就可以找到反例。
还是熟悉的 $\mathbb D_8$。第一列构成一个子群，每一列都是第一列的陪集。
考虑第二列 $\circ$ 第二列会得到什么：
- 第二列第一行 $\circ$ 第二列第一行 = 第三列第一行。因此第二列 $\circ$ 第二列 = 第三列。
- 第二列第二行 $\circ$ 第二列第二行 = 第一列第一行。因此第二列 $\circ$ 第二列 = 第一列。
坏了，出现矛盾，我们根本无法良定义陪集的 $\circ$。我们希望可以有一个确切的 $c$ 使得 $(a \circ H) \circ (b \circ H) = (c \circ H)$。
考虑用共轭来构造：
\[\begin{aligned} & (a \circ H) \circ (b \circ H) \\ =& a \circ (b \circ b^{-1}) \circ H \circ b \circ H \\ =& a \circ b \circ (b^{-1} \circ H \circ b) \circ H \\ \end{aligned}\]若 $H$ 是正规子群，则 $b^{-1} \circ H \circ b$ 作为共轭是等于 $H$ 的：
\[\begin{aligned} =& a \circ b \circ H \circ H \\ =& (a \circ b) \circ H \end{aligned}\]因此，若 $H$ 是正规子群，其所有陪集对 $\circ$ 构成商群 $G/H$（封闭性已证明，其它三条显然），运算规则为：
\[\boxed{ (a \circ H) \circ (b \circ H) = (a \circ b) \circ H }\]例：$\mathbb Z / m \mathbb Z$
以加法为运算，$m \mathbb Z$ 显然是 $\mathbb Z$ 的子群，其陪集为 $k + m \mathbb Z \quad (k \in {0, 1, \cdots, m-1 })$。
$(\mathbb Z, +)$ 是交换群，所有子群自动成为正规子群。因此所有陪集构成商群 $\mathbb Z / m \mathbb Z$，具体运算法则如下：
\[(k_1 + m \mathbb Z) + (k_2 + m \mathbb Z) = (k_1 + k_2) + m \mathbb Z\]同构
在刚才这个例子中，带着整个 $m \mathbb Z$ 运算总觉得有点臃肿。回想数论的知识，我们不妨挑出 $k + m \mathbb Z$ 中的 $k$ 作为代表元，组成完全剩余系：
\[\{0, 1, \cdots, m-1 \}\]商群中的运算法则和以下完全剩余系中的二元运算“等价”：
\[(k_1, k_2) \mapsto (k_1 + k_2) \bmod m\]不妨把刚才的完全剩余系中的二元运算称为 $+_m$。$({0, 1, \cdots, m-1}, +_m)$ 和 $\mathbb Z / m \mathbb Z$ 群的结构完全相同，称为同构，用符号 $\cong$ 表示：
\[(\{0, 1, \cdots, m-1\}, +_m) \cong \mathbb Z / m \mathbb Z\]对任意群给出同构的定义：若群 $(G, \circ)$ 和 $(H, *)$ 之间存在双射 $\varphi: G \to H$ 满足：
\[\varphi(a \circ b) = \varphi(a) * \varphi(b)\]则称 $G,H$ 构成同构（Isomorphism），即 $G \cong H$。同构是一种等价关系，感性理解就是同构的群就是同一个群。
同态
同构有点太强了，削弱一下。
若把同构定义中的双射修改为普通的映射（无需单射，无需满射），只有
\[\varphi(a \circ b) = \varphi(a) * \varphi(b)\]则我们称 $\varphi$ 是 $G$ 到 $H$ 的一个同态（Homomorphism）。
例 1：行列式
方阵的行列式是一个同态：
\[\det(\mathbf A \mathbf B) = \det \mathbf A \times \det \mathbf B\]你无法从方阵的行列式还原出方阵。
例 2：商群
对于群 $(G, \circ)$ 的正规子群 $H$，令 $f(a) = a \circ H$，有：
\[f(a \circ b) = f(a) \circ f(b)\]即 $f$ 是 $G$ 到 $G/H$ 的一个同态。
第一同构定理
回忆刚才 $\mathbb Z / m \mathbb Z$ 的例子。映射 $x \mapsto x \bmod m$ 是一个 $\mathbb Z$ 到完全剩余系的一个同态，而我们有知道完全剩余系与 $\mathbb Z / m \mathbb Z$ 同构。
我们能把这个结论推广到任意群吗？即对于群 $G$ 和映射 $\varphi: G \to \operatorname{Im}(\varphi)$，找到一个正规子群 $H$，使得
\[G / H \cong \operatorname{Im}(\varphi)\]此处 $\operatorname{Im}(\varphi)$ 指的是 $\varphi$ 的所有可能输出值，即这个映射的像（Image），像是值域的子集。
在例子中，这个正规子群 $H$ 就是 $m \mathbb Z$。很容易注意到，这个子群中的任意元素经过映射 $\varphi$ 后都是 $0$，即 $\operatorname{Im}(\varphi)$ 的单位元。
我们不妨定义 $\ker \varphi$ 为 $G$ 中所有被映射到单位元 $e_{\operatorname{Im}(\varphi)}$ 的元素组成的集合，称为同态核（Kernel）：
\[\ker \varphi := \{g \in G \mid \varphi(g) = e_{\operatorname{Im}(\varphi)} \}\]$m \mathbb Z$ 是一个正规子群。对于任意群，$\ker \varphi$ 显然也是子群（证明简单略去），但也是正规子群吗？验证共轭即可：
$\forall k \in \ker \varphi, g \in G$，
\[\begin{aligned} & \varphi(g \circ k \circ g^{-1}) \\ =& \varphi(g) * \varphi(k) * \varphi(g^{-1}) \\ =& \varphi(g) * e_{\operatorname{Im}(\varphi)} * \varphi(g)^{-1} \\ =& e_{\operatorname{Im}(\varphi)} \\ \implies & \varphi(g \circ k \circ g^{-1}) \in \ker \varphi \end{aligned}\]验证成功！因此
\[\ker \varphi \triangleleft G\]因此可以定义出商群 $G / \ker \varphi$。那么这个商群和 $\operatorname{Im}(\varphi)$ 是否同构？我们只需检验映射 $g \circ \ker \varphi \mapsto \varphi(g)$ 是否同时满足同态、单射、满射即可（证明简单，略去）。
最终我们得到第一同构定理（First Isomorphism Theorem）：
\[\boxed{ G / \ker \varphi \cong \operatorname{Im}(\varphi) }\]